Czy kiedykolwiek zastanawiałeś się, jak napisać wielomian, którego pierwiastkami są tylko podane liczby? To wcale nie jest trudne, wystarczy postępować zgodnie z kilkoma prostymi zasadami. W tym wpisie na blogu pokażemy Ci, jak to zrobić.
Kroki do napisania wielomianu o zadanych pierwiastkach
1. Znajdź iloczyn zerowy wielomianu. Iloczyn zerowy wielomianu to iloczyn wszystkich jego pierwiastków. Aby znaleźć iloczyn zerowy, wystarczy pomnożyć ze sobą wszystkie podane liczby. Na przykład, jeśli Twoje pierwiastki to 2, 3 i 5, to iloczyn zerowy to:
2 * 3 * 5 = 30
2. Napisz wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy podanemu iloczynowi zerowemu. Aby to zrobić, możesz skorzystać z wzoru Viete’a. Wzór Viete’a mówi, że współczynniki wielomianu są związane z jego pierwiastkami w następujący sposób:
a_n + a_{n-1}x + … + a_1x^{n-1} + a_0x^n = (x – r_1)(x – r_2)…(x – r_n)
gdzie r_1, r_2, …, r_n to pierwiastki wielomianu. Możesz użyć tych równań, aby rozwiązać dla współczynników a_0, a_1, …, a_n.
3. Sprawdź, czy wielomian ma zadane pierwiastki. Aby sprawdzić, czy wielomian ma zadane pierwiastki, wystarczy podstawić je do wielomianu i zobaczyć, czy wynik jest równy zero. Jeśli wynik jest równy zero dla wszystkich zadanych pierwiastków, to wielomian ma te pierwiastki.
4. Jeśli wielomian nie ma zadanych pierwiastków, to powtórz kroki 1-3, aż znajdziesz wielomian, który ma zadane pierwiastki.
Przykład 1
Napisz wielomian, którego pierwiastkami są 2, 3 i 5.
Krok 1: Znajdź iloczyn zerowy wielomianu.
iloczyn zerowy = 2 * 3 * 5 = 30
Krok 2: Napisz wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy podanemu iloczynowi zerowemu.
Możemy użyć wzoru Viete’a, aby znaleźć współczynniki wielomianu.
a_2 + a_1x + a_0x^2 = (x – 2)(x – 3)(x – 5)
a_2 + a_1x + a_0x^2 = (x^2 – 5x + 6)(x – 5)
a_2 + a_1x + a_0x^2 = x^3 – 10x^2 + 36x – 30
Krok 3: Sprawdź, czy wielomian ma zadane pierwiastki.
Podstawiamy 2, 3 i 5 do wielomianu i sprawdzamy, czy wynik jest równy zero.
f(2) = 2^3 – 10(2)^2 + 36(2) – 30 = 0
f(3) = 3^3 – 10(3)^2 + 36(3) – 30 = 0
f(5) = 5^3 – 10(5)^2 + 36(5) – 30 = 0
Wielomian ma zadane pierwiastki.
Przykład 2
Napisz wielomian, którego pierwiastkami są -1, 2 i 3.
Krok 1: Znajdź iloczyn zerowy wielomianu.
iloczyn zerowy = (-1) * 2 * 3 = -6
Krok 2: Napisz wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy podanemu iloczynowi zerowemu.
Możemy użyć wzoru Viete’a, aby znaleźć współczynniki wielomianu.
a_2 + a_1x + a_0x^2 = (x + 1)(x – 2)(x – 3)
a_2 + a_1x + a_0x^2 = (x^2 – x – 6)(x – 3)
a_2 + a_1x + a_0x^2 = x^3 – 4x^2 – 9x + 18
Krok 3: Sprawdź, czy wielomian ma zadane pierwiastki.
Podstawiamy -1, 2 i 3 do wielomianu i sprawdzamy, czy wynik jest równy zero.
f(-1) = (-1)^3 – 4(-1)^2 – 9(-1) + 18 = 0
f(2) = 2^3 – 4(2)^2 – 9(2) + 18 = 0
f(3) = 3^3 – 4(3)^2 – 9(3) + 18 = 0
Wielomian ma zadane pierwiastki.
Problemy związane z pisaniem wielomianów o zadanych pierwiastkach
Istnieje kilka problemów, które mogą wystąpić podczas pisania wielomianów o zadanych pierwiastkach.
1. Wielomian może nie mieć zadanych pierwiastków. Jeśli iloczyn zerowy wielomianu jest równy zero, to wielomian nie będzie miał żadnych pierwiastków.
2. Wielomian może mieć więcej pierwiastków niż zadano. Jeśli wielomian ma więcej pierwiastków niż zadano, to nie jest to wielomian o zadanych pierwiastkach.
3. Znalezienie wielomianu o zadanych pierwiastkach może być trudne.
Czasem znalezienie wielomianu o zadanych pierwiastkach może być trudne, zwłaszcza jeśli pierwiastki są złożone.
Rozwiązania problemów związanych z pisaniem wielomianów o zadanych pierwiastkach
Istnieje kilka sposobów, aby rozwiązać problemy związane z pisaniem wielomianów o zadanych pierwiastkach.
1. Jeśli wielomian nie ma zadanych pierwiastków, to można zmienić iloczyn zerowy wielomianu. Można to zrobić poprzez dodawanie lub odejmowanie stałych do pierwiastków.
2. Jeśli wielomian ma więcej pierwiastków niż zadano, to można usunąć dodatkowe pierwiastki. Można to zrobić poprzez dzielenie wielomianu przez dwumian (x – r), gdzie r jest dodatkowym pierwiastkiem.
3. Jeśli znalezienie wielomianu o zadanych pierwiastkach jest trudne, to można skorzystać z komputera.
Istnieje wiele programów komputerowych, które mogą pomóc w znalezieniu wielomianu o zadanych pierwiastkach.
Mam nadzieję, że ten wpis na blogu pomógł Ci w zrozumieniu, jak pisać wielomian o zadanych pierwiastkach. Jeśli masz jakieś pytania, to zapraszam do zadawania ich w komentarzach poniżej. Do zobaczenia w następnym wpisie!
Aby utworzyć wielomian o zadanych pierwiastkach, należy:
- Znaleźć iloczyn zerowy wielomianu.
- Napisać wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy zadanemu.
- Sprawdzić, czy wielomian ma zadane pierwiastki.
Pamiętaj, aby wielokrotnie sprawdzać, czy wielomian spełnia wszystkie wymagania.
Znaleźć iloczyn zerowy wielomianu.
Iloczyn zerowy wielomianu to iloczyn wszystkich jego pierwiastków. Aby znaleźć iloczyn zerowy, należy pomnożyć ze sobą wszystkie podane liczby. Na przykład, jeśli Twoje pierwiastki to 2, 3 i 5, to iloczyn zerowy to:
2 * 3 * 5 = 30
Iloczyn zerowy wielomianu jest ważny, ponieważ pozwala nam określić, czy dany wielomian ma zadane pierwiastki. Jeśli iloczyn zerowy wielomianu jest równy zero, to wielomian nie będzie miał żadnych pierwiastków. Jeśli iloczyn zerowy wielomianu jest różny od zera, to wielomian może mieć pierwiastki.
Aby znaleźć iloczyn zerowy wielomianu, można skorzystać z następującego wzoru:
iloczyn zerowy = (-1)^n * a_n * r_1 * r_2 * … * r_n
gdzie:
* n to stopień wielomianu * a_n to współczynnik przy najwyższej potędze x * r_1, r_2, …, r_n to pierwiastki wielomianu
Na przykład, jeśli mamy wielomian x^2 – 5x + 6, to jego iloczyn zerowy będzie wynosił:
iloczyn zerowy = (-1)^2 * 1 * 2 * 3 = 6
Oznacza to, że wielomian x^2 – 5x + 6 ma dwa pierwiastki, które są równe 2 i 3.
Iloczyn zerowy wielomianu jest ważnym pojęciem w algebrze. Pozwala nam określić, czy dany wielomian ma zadane pierwiastki, a także pomaga nam w znajdowaniu pierwiastków wielomianów.
Napisać wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy zadanemu.
Aby napisać wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy zadanemu, należy wykonać następujące kroki:
-
Znaleźć pierwiastki wielomianu.
Pierwiastki wielomianu to wartości x, dla których wielomian jest równy zero.
-
Utworzyć iloczyn zerowy wielomianu.
Iloczyn zerowy wielomianu to iloczyn wszystkich jego pierwiastków.
-
Napisać wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy zadanemu.
Wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy zadanemu, można napisać za pomocą wzoru Viete’a. Wzór Viete’a mówi, że współczynniki wielomianu są związane z jego pierwiastkami w następujący sposób:
a_n + a_{n-1}x + … + a_1x^{n-1} + a_0x^n = (x – r_1)(x – r_2)…(x – r_n)
gdzie r_1, r_2, …, r_n to pierwiastki wielomianu.
Na przykład, jeśli mamy pierwiastki 2, 3 i 5, to iloczyn zerowy wielomianu będzie wynosił:
iloczyn zerowy = 2 * 3 * 5 = 30
Aby napisać wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy 30, możemy skorzystać z wzoru Viete’a:
a_2 + a_1x + a_0x^2 = (x – 2)(x – 3)(x – 5)
Rozwińmy ten iloczyn:
a_2 + a_1x + a_0x^2 = x^3 – 10x^2 + 36x – 30
Mamy więc wielomian, którego iloczyn zerowy jest równy 30.
Sprawdzić, czy wielomian ma zadane pierwiastki.
Aby sprawdzić, czy wielomian ma zadane pierwiastki, należy podstawić te pierwiastki do wielomianu i zobaczyć, czy wynik jest równy zero. Jeśli wynik jest równy zero dla wszystkich zadanych pierwiastków, to wielomian ma te pierwiastki.
Na przykład, jeśli mamy wielomian x^2 – 5x + 6 i chcemy sprawdzić, czy ma on pierwiastki 2 i 3, to podstawiamy te wartości do wielomianu:
f(2) = 2^2 – 5(2) + 6 = 0 f(3) = 3^2 – 5(3) + 6 = 0
Ponieważ wynik jest równy zero dla obu pierwiastków, możemy powiedzieć, że wielomian x^2 – 5x + 6 ma pierwiastki 2 i 3.
Sprawdzenie, czy wielomian ma zadane pierwiastki, jest ważne, ponieważ pozwala nam upewnić się, że wielomian spełnia nasze wymagania. Na przykład, jeśli chcemy napisać wielomian, którego pierwiastkami są 2, 3 i 5, to musimy sprawdzić, czy wielomian, który napisaliśmy, rzeczywiście ma te pierwiastki.
Sprawdzanie, czy wielomian ma zadane pierwiastki, jest prostym, ale ważnym krokiem w procesie pisania wielomianów o zadanych pierwiastkach.
