W tym artykule omówimy Aproksymację Metodą Najmniejszych Kwadratów z wykorzystaniem pochodnej.
Co to jest Aproksymacja Metodą Najmniejszych Kwadratów?
Aproksymacja Metodą Najmniejszych Kwadratów (MNK) jest metodą statystyczną służącą do znajdowania najlepszej funkcji, która pasuje do danego zbioru danych. Najlepsza funkcja jest tą, która minimalizuje sumę kwadratów różnic między wartościami przewidywanymi a wartościami obserwowanymi.
Jak Działa Aproksymacja Metodą Najmniejszych Kwadratów?
Aby użyć MNK, należy najpierw wybrać funkcję, która będzie aproksymowała dane. Następnie należy obliczyć wartości przewidywane dla każdego punktu danych. Wartości przewidywane są to wartości, które funkcja przewiduje dla danych punktów.
Następnie należy obliczyć różnice między wartościami przewidywanymi a wartościami obserwowanymi. Różnice te są nazywane resztami.
Następnie należy obliczyć sumę kwadratów reszt. Suma kwadratów reszt jest miarą tego, jak dobrze funkcja pasuje do danych.
Na koniec należy wybrać funkcję, która minimalizuje sumę kwadratów reszt. Ta funkcja jest najlepszą funkcją aproksymującą dane.
Przykład Aproksymacji Metodą Najmniejszych Kwadratów z Pochodną
Rozważmy następujący zbiór danych:
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)
Chcemy znaleźć funkcję liniową, która najlepiej pasuje do tych danych.
Funkcja liniowa ma postać:
f(x) = mx + b
gdzie m jest nachyleniem funkcji, a b jest wyrazem wolnym.
Aby znaleźć wartości m i b, które minimalizują sumę kwadratów reszt, musimy rozwiązać następujący układ równań:
(m + b)2 + (2m + b)2 + (3m + b)2 + (4m + b)2 + (5m + b)2 = minimum
Możemy to zrobić za pomocą rachunku różniczkowego. Obliczając pochodną powyższego wyrażenia i przyrównując ją do zera, otrzymujemy:
2(m + b) + 4(2m + b) + 6(3m + b) + 8(4m + b) + 10(5m + b) = 0
Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:
m = -1
b = 2
Zatem najlepsza funkcja liniowa, która pasuje do danych, jest:
f(x) = -x + 2
Problemy i Rozwiązania
Jednym z problemów, który może wystąpić przy użyciu MNK, jest przefitting. Przefitting występuje, gdy funkcja aproksymująca zbyt dobrze pasuje do danych. W takim przypadku funkcja może przechwytywać szum w danych, zamiast rzeczywistych zależności.
Aby uniknąć przefittingu, można użyć technik takich jak walidacja krzyżowa lub regularizacja.
Aproksymacja Metodą Najmniejszych Kwadratów Przykład Z Pochodną jest bardzo przydatnym narzędziem w statystyce i uczeniu maszynowym. Może być używana do znajdowania najlepszych funkcji, które pasują do danych, a także do przewidywania wartości przyszłych.
